1η Διαλεξη -- 29.02.2024
Στη πρώτη διάλεξη μιλήσαμε για του αριθμούς κινητής υποδιαστολής. Ορίσαμε τα σύνολα των αριθμών μηχανής \(F(\beta,T,U,L),\ F_D(\beta,T,U,L)\). Αποδείξαμε ποιo είναι το μικρότερο και ποιο το μεγαλύτερο θετικό στοιχείο των παραπάνω συνόλων. Μιλήσαμε για απλή και διπλή ακρίβεια στους υπολογισμούς.
2η Διαλεξη -- 07.03.2024
Είδαμε ένα παράδειγμα πως οι πράξεις με αριθμούς κινητής υποδιαστολής μπορούν να δημιουργήσουν σφάλματα σε υπολογισμούς. Εξετάσαμε των αριθμό των πράξεων κινητής υποδιαστολής που απαιτούνται για το εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων, και πράξεων με διανύσματα με πίνακες. Επίσης εξετάσαμε το αριθμό πράξεων για τον υπολογισμό της ορίζουσας. Αρχίσαμε να συζητάμε για αριθμητική επίλυση γραμμικών συστημάτων και παρουσιάσαμε δύο άμεσες μεθόδους: Κανόνας Cramer και Απαλοιφή Gauss. Συγκρίναμε τους χρόνους εκτέλεσης για ένα γραμμικό σύστημα 50 εξισώσεων με 50 αγνώστους.
3η Διαλεξη -- 14.03.2024
Eίδαμε παραδείγματα σφαλμάτων σε συστήματα κατά τη διαδικασία της επίλυσης μέσω απαλοιφής Gauss. Μιλήσαμε για τη μερική οδήγηση. Ορίσαμε νόρμες στον \(\mathbb R^n\) και φυσικές νόρμες στον \(\mathbb R^{n\times n}\). Βρήκαμε ένα εκ των προτέρον ανω φράγμα για το σχετικό σφάλμα στην επίλυση ενός γραμμικού συστήματος.
4η Διαλεξη -- 21.03.2024
Ορίσαμε το δείκτη κατάστασης ενός πίνακα. Δείξαμε πως να υπολογίζουμε τις φυσικές νόρμες πινάκων. Νόρμα Frobenius και σύνδεση της με την ευκλείδια νόρμα.
5η Διαλεξη -- 29.03.2024
Δείξαμε ότι \(\|A\|_2 \leq \|A\|_F\). Ορίσαμε τη φασματική ακτίνα πίνακα \(\rho(A)\)και δείξαμε οτι είναι μικρότερη ή ίση από κάθε φυσική νόρμα. Ξεκινήσαμε να μιλάμε για επαναληπτικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων της μορφής \(x^k = Gx^{k-1} + M^{-1}b,\ G=M^{-1}N\) και \(A = M-N\). Είδαμε οτι έχουμε σύγκλιση για \(\rho(G)<1\) και φράξαμε το σφάλμα προσέγγισης σε κάθε επανάληψης.
6η Διαλεξη -- 11.04.2024
Είδαμε τις επαναληπτικές μέθοδους Jacobi και Gauss--Seidel και κάναμε παραδείγματα. Ξεκινήσαμε να μιλάμε για αριθμητική επίλυση μη-γραμμικών συναρτήσεων. Μελετήσαμε τη μέθοδο της διχοτόμησης. Αποδείξαμε το θεώρημα σταθερού σημείου.
7η Διαλεξη -- 16.04.2024
Γενική επαναληπτική μέθοδος \(x^{k} = \phi(x^{k-1})\). Θεώρημα συστολής. Τάξη σύγκλισης. Επαναληπτική μέθοδος του Newton.
8η Διαλεξη -- 18.04.2024
Πραγματοποιήσαμε το 1ο quiz του μαθήματος Θέματα. Αποδείξαμε τάξη σύγκλισης 2 για τη επαναληπτική μέθοδο του Newton.
9η Διαλεξη -- 16.05.2024
Επαναληπτική μέθοδος του Newton για μη γραμμικά συστήματα. Πολυωνυμική παρεμβολή.
10η Διαλεξη -- 23.05.2024
Σφάλμα προσέγγισης Πολυωνυμικής παρεμβολής, Αστοχία προσέγγισης της συνάρτησης Runge. Διανυσματικός χώρος κατά τμήματα γραμμικών, συνεχών συναρτήσεων και κατασκευή βάσης. Γραμμικές splines και σφάλμα προσέγγισης.
11η Διαλεξη -- 27.05.2024
Αριθμητική ολοκλήρωση. Κανόνας του τραπεζίου (απλός και σύνθετος). Απόλυτο σφάλμα.
12η Διαλεξη -- 28.05.2024
Αριθμητική ολοκλήρωση. Κανόνας του Simpson (απλός και σύνθετος). Απόλυτο σφάλμα.
©2024 kesmarag.github.io